РЕШУ ЦТ

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска

Категория

Атрибут

Всего: 2 1–2

Добавить в вариант

Задание № 1612 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: IV

Методы геометрии: Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.2\. Правильная треугольная пирамида

Разные задачи

ABCA₁B₁C₁  — правильная треугольная призма, у которой AB  =  5, AA₁  =  5. Точки Р и Q  — середины ребер АВ и А₁С₁ соответственно. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 36, знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби ,$ где $\varphi$   — угол между прямыми PQ и АВ₁.

Решение.

Введем систему координат, как показано на рисунке. Найдем координаты точек P и Q как координаты середин соответствующих отрезков. Имеем: $A левая круглая скобка 0; 0; 0 правая круглая скобка ,$ $B левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ,$ $A_1 левая круглая скобка 0; 0; 5 правая круглая скобка ,$ $C_1 левая круглая скобка 0; 5; 5 правая круглая скобка ,$ откуда $P левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ; 0 правая круглая скобка ,$ $Q левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ; 5 правая круглая скобка .$ Следовательно,

$\overrightarrowPQ левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ;5 правая круглая скобка ,$       $\overrightarrowAB_1 левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби ;5 правая круглая скобка .$

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых:

$косинус левая круглая скобка \widehatPQ;AB_1 правая круглая скобка =| косинус левая круглая скобка \widehat\overrightarrowPQ;\overrightarrowAB_1 правая круглая скобка | =$

$= дробь: числитель: \left| левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 умножить на 5|, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: дробь: числитель: 75, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 75 умножить на 2, знаменатель: 25 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 20 конец дроби .$ $= дробь: числитель: \left| левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби умножить на дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби плюс 5 умножить на 5|, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 5 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: дробь: числитель: 75, знаменатель: 4 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 5 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента конец дроби = дробь: числитель: 75 умножить на 2, знаменатель: 25 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента умножить на 4 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из: начало аргумента: 10 конец аргумента , знаменатель: 20 конец дроби .$

Найдем значение искомого выражения:

$дробь: числитель: 36, знаменатель: косинус в квадрате \varphi конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: косинус в квадрате левая круглая скобка \widehatPQ;AB_1 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 36, знаменатель: дробь: числитель: 90, знаменатель: 400 конец дроби конец дроби =160.$

Ответ: 160.

Ответ: 160

Аналоги к заданию № 1612: 1645 Все

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

РешениеСпрятать решение · Помощь

Задание № 2133 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

Сложность: V

Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат

Классификатор стереометрии: 1\.5\. Угол между прямыми, 3\.8\. Куб

Разные задачи

ABCDA₁B₁C₁D₁  — куб. Точка K лежит на ребре AB куба так, что AK : KB  =  2 : 1. Найдите значение выражения $дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби ,$ где φ  — угол между прямыми A₁K и B₁D₁.

Решение.

Пусть ребро куба равно 1. Введем декартовую систему координат с центром в точке B. Имеем: $A_1 левая круглая скобка 1; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $K левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ; 0; 0 правая круглая скобка ,$ $B_1 левая круглая скобка 0; 0; 1 правая круглая скобка ,$ $D_1 левая круглая скобка 1; 1; 1 правая круглая скобка .$ Найдем координаты вектора $\overrightarrowA_1K:$

$\overrightarrowA_1K = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби минус 1; 0 минус 0; 0 минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ; 0; минус 1 правая круглая скобка .$

Найдем координаты вектора $\overrightarrowB_1D_1:$

$\overrightarrowB_1D_1 = левая круглая скобка 1 минус 0; 1 минус 0; 1 минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка 1; 1; 0 правая круглая скобка .$

Найдем косинус угла между векторами $\overrightarrowA_1K$ и $\overrightarrowB_1D_1:$

$косинус фи = дробь: числитель: \overrightarrowA_1K умножить на \overrightarrowB_1D, знаменатель: |\overrightarrowA_1K| умножить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби = дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 плюс 0 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби .$ $косинус фи = дробь: числитель: \overrightarrowA_1K умножить на \overrightarrowB_1D, знаменатель: |\overrightarrowA_1K| умножить на |\overrightarrowB_1D_1| конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби умножить на 1 плюс 0 умножить на 1 плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на 0, знаменатель: корень из: начало аргумента: левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс 0 в квадрате плюс левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента умножить на корень из: начало аргумента: 1 в квадрате плюс 1 в квадрате плюс 0 в квадрате конец аргумента конец дроби =$
$= дробь: числитель: минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 13, знаменатель: 9 конец дроби конец аргумента умножить на корень из 2 конец дроби = минус дробь: числитель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби , знаменатель: дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби конец дроби = минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби .$

Найдем значение выражения $дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби :$

$дробь: числитель: 12, знаменатель: косинус в квадрате фи конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: корень из: начало аргумента: 26 конец аргумента конец дроби правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 12, знаменатель: дробь: числитель: 2, знаменатель: 13 конец дроби конец дроби = 12 умножить на дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби = 78.$

Ответ: 78.

Ответ: 78

Аналоги к заданию № 2133: 2163 Все

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2023

РешениеСпрятать решение · Помощь

Всего: 2 1–2

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе